Como baixar aplicativo do Google Play pelo computador

Postagem atualizada em 19/03/2014
A ferramenta "APK Downloader" não está funcionando corretamente, assim impossibilitando de fazer download dos aplicativos do Google Play então recentemente fizemos um novo tutorial que você pode conferir clicando aqui, ele é mais fácil que este abaixo.
Se você sempre quis baixar aplicativos do Google Play (antigo Android Market) pelo computador e depois enviar para o celular pelo cabo usb, já que a internet do seu pc é mais rápida que a do seu Android, este post é ideal para você! Com a ajuda da extensão APK Downloader para o navegador Google Chrome é possível baixar arquivos APK do Google Play para o PC - apenas aplicativos grátis. 
Vamos ao tutorial, primeiro atualize seu Google Chrome, porque dependendo da versão a extensão não é compatível, já que só é compatível a partir da versão 17 para cima, para atualizar clique no símbolo de "ferramenta" (canto superior direito) e então clique onde está escrito "Sobre o Google Chrome" ele verificará se há novas atualizações, caso tenha ele instalará normalmente.
Segundo baixe e instale a extensão: APK Downloader 1.2.1 - Mas atenção caso o Google Chrome dê uma mensagem avisando que não é possível instalar extensões que não estão na Chrome Web Store siga este tutorial do Tecmundo de como instalar extensões que não estão na Web Store (clique aqui) e depois prossiga o tutorial abaixo.
Após instalar você precisa seguir os passos abaixo para poder utilizar a extensão.
Primeiro é necessário desativar os avisos de erro SSL, segundo o desenvolvedor se você não fizer esse passo a extensão nunca irá funcionar, então preste atenção. Para OS X e Linux, leia este post (segundo o site do desenvolvedor o tutorial para esses sistemas operacionais é (substituir - -Remote-depuração-port = 9222 no exemplo com - ignore-certificado de erros)
Abaixo instrução é para usuários do Windows.
Faça como a imagem abaixo, no atalho do Google Chrome clique com o botão direito e selecione Propriedades, na aba "Atalho" acrescente o seguinte comando "--ignore-certificate-errors --allow-running-insecure-content" (sem aspas) e dê Ok. Vai ficar mais ou menos assim: 
C:\…\chrome.exe --ignore-certificate-errors --allow-running-insecure-content
ou
“C:\…\chrome.exe” --ignore-certificate-errors --allow-running-insecure-content

Agora feche o Chrome e abra-o novamente com esse atalho.  Abra APK Downloader, para abrir é simples clique neste link chrome://extensions-frame/# ou clique no símbolo de "ferramenta" (canto superior direito) e então clique onde está escrito "Configurações" uma nova aba irá abrir e no canto superior esquerdo clique em extensões, onde estiver o APK Downloader clique em Opções (está de azul). Se a tela se parece com a imagem da direita abaixo (a caixa de aviso já se foi), então você desativou os avisos de erro SSL com sucesso. Agora digite o e-mail, a senha da conta e ID do dispositivo na página Options, ou seja o e-mail da sua conta Google (cadastrada no Google Play, antigo Android Market) e a ID do seu Android (celular). Existem duas maneiras de obter ID do celular com Android, a mais fácil é instalar este aplicativo Device ID, ele irá mostrar-lhe seus e-mails e ID do dispositivo. Já a maneira difícil é abrir o teclado de discagem (onde disca os número de telefone para telefonar) e ligar para o número *#*#8255#*#* (8255 forma a palavra TALK), então o Gtalk Service Monitor será aberto, encontre as linhas que começam com JID e ID do dispositivo. Seu e-mail é uma JID, e seu ID de dispositivo é um string que após android-prefixo. Por exemplo: se mostra android-1234567890abcdef, então o seu ID do dispositivo é 1234567890abcdef não escreva no e-mail aleatório ou ID do dispositivo, ele não vai funcionar. Então recomendo usar o Aplicativo Device ID pois para usuários não avançados é mais fácil. Após digitar o e-mail, a senha e a ID clique em Login, depois selecione em Sim Operator o país em que sua operadora está disponível e ao lado selecione sua operadora de celular e por fim clique em Save Settings, não faça Logout, apenas feche a aba.
Agora você já pode começar a baixar vários aplicativos grátis, para baixar é simples, vá até na página onde se encontra o aplicativo que você quer, por exemplo Facebook para Android, se o aplicativo estiver disponível para baixar aparecerá um ícone (uma cabeça de Android com seta em cima) igual a imagem abaixo: Ao clicar nesse ícone uma nova aba é aberta e após alguns segundos o arquivo do aplicativo é baixado para seu computador, após ter baixado é só você enviar para o seu aparelho Android pelo cabo usb, bluetooth...
Aviso, segundo o site do desenvolvedor, você usa a extensão por sua conta e risco. Eles não vão assumir a responsabilidade por qualquer coisa que acontecer com você ou sua conta e a equipe do Limon Tec também não se responsabiliza pelos seus atos. Este foi apenas um tutorial de um conteúdo já disponível na internet.

Caso esteja dando o seguinte aviso de erro ao tentar baixar um app:  ERROR :- please disable ssl warning (already done)                check your account information(also verified many times) Faça logout na extensão e loga-se novamente.
Se você não estiver conseguindo fazer download de nenhum aplicativo do Google Play e aparece a mensagem "ERROR: Cannot download this app!" você pode utilizar outro método de fazer download de aplicativos do Google Play, o tutorial se encontra neste link - clique aqui.

Qualquer dúvida deixe um comentário abaixo (tentaremos responder) ou visite o site do desenvolvedor da extensão, para isso clique aqui (página em inglês).
Fonte: http://codekiem.com/2012/02/24/apk-downloader/